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　　原標(biāo)題：天才美少女的開掛人生，首次揭曉！11歲自學(xué)微積分，17歲推翻40年難題

　  11歲自學(xué)掌握微積分，14歲便已達(dá)到本科水平，17歲成功破解40年未解猜想。尚未高中畢業(yè)的她，已被馬里蘭大學(xué)博士項(xiàng)目直接錄取。如今，這位傳奇少女夢(mèng)幻的人生故事，第一次呈現(xiàn)在了我們面前。

　　一位天才少女，因?yàn)橛X得在家按部就班的上學(xué)生活太過(guò)「無(wú)聊」后，就去伯克利申請(qǐng)了一門研究生課程。

　　這種聽起來(lái)像是爽文一樣的人生，確確實(shí)實(shí)發(fā)生在今年2月。

　　倒不是說(shuō)尚未完成高中學(xué)業(yè)的青少年無(wú)法解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，但出現(xiàn)這種結(jié)果的可能性似乎微乎其微。

　　2月10日，一篇推翻Mizohata-Takeuchi猜想的論文，令數(shù)學(xué)界感到震驚、欣喜，同時(shí)也預(yù)示一顆新星正在然然升起。

　　它的作者，正是當(dāng)時(shí)年僅17歲的漢娜·凱羅（Hannah Cairo）。

　　論文地址：https://arxiv.org/pdf/2502.06137

　　數(shù)學(xué)是她逃離現(xiàn)實(shí)禁錮的無(wú)垠世界

　　漢娜的童年在巴哈馬的拿騷度過(guò)。

　　和兩個(gè)兄弟一樣，她在家中接受教育，父親是一位軟件工程師。

　　她的數(shù)學(xué)之旅始于可汗學(xué)院的在線課程，這是一條被她迅速走完的跑道。

　　11歲時(shí)，微積分已是她的「囊中之物」。

　　不久，網(wǎng)上現(xiàn)成的內(nèi)容已無(wú)法滿足她。

　　父母為她找了兩位數(shù)學(xué)教授進(jìn)行遠(yuǎn)程輔導(dǎo)——先是韋爾斯利學(xué)院的Martin Magid，后是克拉克大學(xué)Amir Aazami。

　　但她大部分的學(xué)習(xí)仍是自我驅(qū)動(dòng)的研究生級(jí)別數(shù)學(xué)教材。

　　漢娜回憶道，Amir Aazami后來(lái)曾說(shuō)：「他感覺收我的學(xué)費(fèi)都有些不好意思，因?yàn)樗X得自己并沒真正教我什么。大多數(shù)時(shí)候，都是我自己讀完書，然后嘗試去證明里面的定理?！?/p>

　　但漢娜覺得家庭教育讓她備受束縛。

　　「那是一種無(wú)法逃脫的、日復(fù)一日的單調(diào)。無(wú)論我做什么，都在同一個(gè)地方，做著幾乎同樣的事，」她說(shuō)。

　　「我感到與世隔絕，無(wú)論做什么都無(wú)法改變。有時(shí)一覺醒來(lái)，我只感到自己又老了一歲，別無(wú)其他。」

　　數(shù)學(xué)成了一種慰藉，一個(gè)在她逼仄的現(xiàn)實(shí)生活中得以喘息的廣闊空間。

　　「數(shù)學(xué)是我能探索的另一個(gè)世界。一個(gè)沒有邊界、只要一思考便能隨時(shí)進(jìn)入的世界，」她說(shuō)。

　　「我就是這樣長(zhǎng)大的，將數(shù)學(xué)視為一個(gè)可以獨(dú)自探索的思想王國(guó)。這個(gè)過(guò)程，讓我對(duì)數(shù)學(xué)的看法與眾不同?！?/p>

　　2021年，新冠疫情肆虐，當(dāng)世界為多數(shù)人按下暫停鍵時(shí)，漢娜的世界卻開始延展。

　　旅行限制將她一家困在了芝加哥的祖父母家。

　　在此期間，她加入了「芝加哥數(shù)學(xué)圈」（Math Circles of Chicago），一個(gè)師生共同解決數(shù)學(xué)難題的社群。

　　這次經(jīng)歷促使她在次年申請(qǐng)了「伯克利數(shù)學(xué)圈」為期兩周的在線暑期項(xiàng)目，這里曾是全球頂尖數(shù)學(xué)天才的搖籃。

　　在申請(qǐng)材料中，她列出了一長(zhǎng)串自學(xué)課程，其內(nèi)容已相當(dāng)于一個(gè)數(shù)學(xué)專業(yè)的高年級(jí)本科學(xué)位。

　　那一年，她14歲。

　　「漢娜是遠(yuǎn)超常人的非凡存在，」伯克利數(shù)學(xué)家、「伯克利數(shù)學(xué)圈」創(chuàng)始人Zvezdelina Stankova評(píng)價(jià)道。

　　「她每次申請(qǐng)學(xué)?；蝽?xiàng)目，都已遙遙領(lǐng)先了好幾個(gè)層級(jí)。」

　　然而，這些零星的經(jīng)歷從未讓漢娜覺得自己擁有超凡的數(shù)學(xué)天賦。

　　她說(shuō)話溫和、待人真誠(chéng)而謙遜，似乎真的不確定自己的能力與他人相比究竟如何——部分原因在于，多年來(lái)，她唯一的參照系只有自己。

　　「成長(zhǎng)過(guò)程中，我并不清楚自己算不算有天賦，」她說(shuō)。

　　「我喜歡彈鋼琴，周圍人總夸我在數(shù)學(xué)和鋼琴上都很有天分。但現(xiàn)在回頭看，我的鋼琴水平確實(shí)在平均之上，但絕談不上出類拔萃。至于數(shù)學(xué)嘛……也就那么回事吧。」

　　一道華人教授留的附加題，是傳奇的開始

　　2023年，在伯克利數(shù)學(xué)圈度過(guò)第二個(gè)夏天后，漢娜開始思索未來(lái)。

　　她申請(qǐng)了幾所大學(xué)，雖因沒有高中學(xué)歷大多被拒，但還是收到了加州大學(xué)戴維斯分校的錄取通知。

　　是該提前三年開始本科生涯？還是去別處尋求機(jī)會(huì)？

　　Stankova鼓勵(lì)她參加伯克利的「并行招生計(jì)劃」，直接修讀由領(lǐng)域內(nèi)頂尖學(xué)者授課的研究生課程。

　　漢娜采納了建議。

　　2023年秋，全家搬到了戴維斯市。哥哥入讀加大戴維斯分校，而父母則允許她每周二、四通勤到伯克利上課。

　　到了春季，她已是每周五天泡在伯克利，修讀更多課程。

　　她回憶，那是她生命中開始感到充滿無(wú)限可能的時(shí)期。

　　「我開始交朋友，一切感覺都很好，」她說(shuō)。春季學(xué)期結(jié)束后，全家從戴維斯搬到了伯克利——哥哥也決定轉(zhuǎn)學(xué)至此——漢娜終于感到了安穩(wěn)。

　　即便如此，適應(yīng)過(guò)程仍在繼續(xù)?！肝覜]什么社交經(jīng)驗(yàn)，所以還需要學(xué)習(xí)如何與人相處?！?/p>

　　2024-2025學(xué)年伊始，漢娜在選課時(shí)，被一門名為「傅里葉限制性理論」（Fourier restriction theory）的研究生課程所吸引，它是調(diào)和分析的一個(gè)分支。

　　「這是當(dāng)時(shí)開設(shè)的最前沿的分析學(xué)課程之一，所以我想，干嘛不試試呢？」

　　授課教授是張瑞祥，一位成就斐然的數(shù)學(xué)家。

　　他的學(xué)術(shù)道路堪稱典范：2008年國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽金牌得主、在北大數(shù)院拿到學(xué)士學(xué)位、普林斯頓大學(xué)博士、高等研究院博士后，隨后在全球頂尖的伯克利數(shù)學(xué)系獲得終身教職。

　　漢娜郵件聯(lián)系了張瑞祥，希望能加入他的課堂。「漢娜非常專注，且對(duì)這個(gè)課題充滿熱情，」他說(shuō)。

　　「單是這種態(tài)度就足夠了，所以我很爽快地同意了。」

　　幾周后，在完成一份作業(yè)時(shí)，她遇到了一個(gè)讓她沉迷其中、無(wú)法自拔的問(wèn)題。

　　這個(gè)問(wèn)題是「Mizohata-Takeuchi猜想」的一個(gè)簡(jiǎn)化版本。

　　張瑞祥將其作為熱身題放在作業(yè)里，意在鼓勵(lì)學(xué)生在一個(gè)艱深的領(lǐng)域中練習(xí)高級(jí)技巧。

　　作業(yè)還有一個(gè)選做題，邀請(qǐng)學(xué)生思考能否將簡(jiǎn)化版的證明推廣到更復(fù)雜的情形。

　　漢娜完成了作業(yè)，并欣然接受了挑戰(zhàn)，繼續(xù)深挖下去。

　　對(duì)她而言，沿著一個(gè)想法的脈絡(luò)走到盡頭，是再自然不過(guò)的事。「我為什么要停下呢？」她說(shuō)。

　　「Mizohata-Takeuchi猜想」是一個(gè)調(diào)和分析領(lǐng)域的問(wèn)題，該領(lǐng)域旨在研究函數(shù)如何由各種波狀成分組合而成。

　　任何函數(shù)都可以被分解為一系列簡(jiǎn)單的正弦波之和，而每個(gè)正弦波都有其頻率。

　　數(shù)學(xué)家們常常想理解那些只能由特定頻率的正弦波構(gòu)成的函數(shù)的性質(zhì)。在這些情況下，被允許的頻率必須滿足能勾勒出特定曲面（如球面）的方程。

　　這背后的原因在于，許多定義物理波（如光波、聲波和量子波）的函數(shù)，其頻率都受限于此類曲面。

　　「Mizohata-Takeuchi猜想」所考慮的，正是由頻率落在這樣一個(gè)曲面上的波所構(gòu)成的函數(shù)。該猜想斷言：函數(shù)的能量（衡量函數(shù)振幅大小的指標(biāo)）只能以特定的模式分布和集中。

　　這好比在一個(gè)形狀奇特的房間里演奏音樂。聲波有時(shí)會(huì)因回聲而放大，變得異常響亮。但這種情況的發(fā)生，必定是在房間里的某些特定位置。

　　幾十年來(lái)，數(shù)學(xué)家們僅在該猜想的少數(shù)特例上取得了有限進(jìn)展，而其普遍形式卻始終無(wú)人能解，所有標(biāo)準(zhǔn)方法似乎都無(wú)從下手。

　　這種堅(jiān)不可摧的特性讓一些數(shù)學(xué)家懷疑它本身就是錯(cuò)的；而另一些人則認(rèn)為，其表述的優(yōu)雅簡(jiǎn)潔預(yù)示著它更可能為真。

　　「有些早上我醒來(lái)會(huì)想，這個(gè)猜想表述如此簡(jiǎn)潔優(yōu)雅，適用范圍又如此之廣，它最終必然是真的，」研究該問(wèn)題數(shù)十年的愛丁堡大學(xué)數(shù)學(xué)家Carbery說(shuō)?！傅硪恍┰缟?，我又會(huì)覺得……它不可能那么簡(jiǎn)單地就成立?！?/p>

　　數(shù)學(xué)家們就此陷入了僵局。

　　在攻克任何難題的道路上，懷疑總是如影隨形。數(shù)學(xué)家們懷疑自己的方法、懷疑自己的直覺，懷疑那個(gè)當(dāng)下看似前途光明的想法，最終能否站得住腳。

　　對(duì)漢娜而言，這些懷疑被進(jìn)一步放大了。她初來(lái)乍到，早期證明完整猜想的嘗試既不成熟也不完整。

　　她不確定自己的方向是否正確，張瑞祥也同樣抱有疑慮。

　　「我跑去答疑時(shí)間問(wèn)他，這些想法可行嗎？結(jié)果證明它們很愚蠢，根本行不通，」她說(shuō)。

　　「過(guò)程就是這樣來(lái)來(lái)回回。我?guī)е孪敕ㄈゴ鹨?，?wèn)它們是否可行，他總是回答不行。」

　　漢娜沒有放棄，繼續(xù)閱讀與思考。

　　最終，她找到了一個(gè)方法，利用頻率均落在特定曲面上的波，構(gòu)建出一個(gè)奇特而復(fù)雜的函數(shù)。通常，當(dāng)這類波疊加時(shí)，它們會(huì)相互干涉，在某些地方抵消，在另一些地方增強(qiáng)。

　　但漢娜證明，在她構(gòu)建的函數(shù)中，波并沒有如預(yù)期那樣抵消。

　　相反，它們的干涉產(chǎn)生了不均勻的模式，導(dǎo)致函數(shù)能量以一種「Mizohata-Takeuchi猜想」所禁止的分形形態(tài)，在某些區(qū)域擴(kuò)散，在另一些區(qū)域集中。

　　她發(fā)現(xiàn)自己創(chuàng)造出了一個(gè)在許多人看來(lái)本不該存在的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

　　起初，她對(duì)此心存疑慮?！肝医?jīng)常遇到這種情況，」她說(shuō)?！肝业贸隽艘粋€(gè)看似證明的結(jié)論，以為自己成功了，但結(jié)果發(fā)現(xiàn)自己其實(shí)是錯(cuò)的。」

　　隨后，兩件事發(fā)生了。

　　第一，她意識(shí)到可以用一個(gè)遠(yuǎn)為簡(jiǎn)單的構(gòu)造來(lái)替代原先復(fù)雜的構(gòu)造，并得到相同的結(jié)果。

　　第二，她徹底說(shuō)服了自己，也說(shuō)服了張瑞祥——這個(gè)結(jié)果是正確的。

　　她的第一個(gè)學(xué)位將是博士學(xué)位

　　自漢娜二月發(fā)布論文以來(lái)，這份證明及其出人意料的作者，為整個(gè)數(shù)學(xué)界注入了前所未有的活力。

　　「我當(dāng)時(shí)的反應(yīng)絕對(duì)是，哇！這可是我近40年來(lái)最鐘愛的問(wèn)題，我被徹底震撼了，」Carbery說(shuō)。

　　「當(dāng)我得知她比我想象的還要年輕得多時(shí)，我更是佩服得五體投地。論文行文之優(yōu)雅，堪稱非凡。」

　　數(shù)學(xué)家們對(duì)漢娜的研究將如何啟發(fā)新方向感到興奮。

　　「我敢肯定，從今往后，每當(dāng)我們遇到類似問(wèn)題，都會(huì)嘗試用類漢娜構(gòu)造來(lái)進(jìn)行檢驗(yàn)，」Oliveira說(shuō)。

　　他和調(diào)和分析領(lǐng)域的同仁們，將不得不面對(duì)一個(gè)被徹底改變的學(xué)術(shù)格局。

　　在調(diào)和分析領(lǐng)域，存在著一系列關(guān)于波能量如何集中的核心問(wèn)題。

　　其中一個(gè)名為「斯坦猜想（Stein’s conjecture）」的猜想如果為真，將能把該領(lǐng)域中一些最重要的問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)。但漢娜的工作證明了斯坦因猜想是錯(cuò)誤的，從而切斷了數(shù)學(xué)家們?cè)挠韬裢囊粭l關(guān)鍵路徑。

　　數(shù)學(xué)界也在適應(yīng)漢娜本人的存在。

　　完成證明后，她決定直接申請(qǐng)博士項(xiàng)目，完全跳過(guò)大學(xué)本科（和高中文憑）。

　　在她看來(lái)，自己早已在過(guò)著研究生的生活。

　　她申請(qǐng)了10個(gè)博士項(xiàng)目，6個(gè)因她沒有大學(xué)學(xué)位而拒絕了她，另有2個(gè)錄取后又被學(xué)校高層駁回。

　　最終，只有馬里蘭大學(xué)和約翰·霍普金斯大學(xué)愿意直接錄取她攻讀博士。

　　今年秋天，她將在馬里蘭大學(xué)開啟她的求學(xué)生涯。

　　待她畢業(yè)之時(shí)，那將是她人生中的第一個(gè)學(xué)位——博士學(xué)位。